網(wǎng)友解答: 其實(shí)很多。而且，可以證明，這種函數(shù)事實(shí)上不在“少數(shù)”，甚至比那些“正常”的函數(shù)“多得多”。狄拉克δ函數(shù)（沖激函數(shù)）學(xué)信號(hào)處理的同學(xué)對(duì)它可以說相當(dāng)熟悉了。其實(shí)我們是沒法畫出這個(gè)

其實(shí)很多。而且，可以證明，這種函數(shù)事實(shí)上不在“少數(shù)”，甚至比那些“正?！钡暮瘮?shù)“多得多”。

學(xué)信號(hào)處理的同學(xué)對(duì)它可以說相當(dāng)熟悉了。

其實(shí)我們是沒法畫出這個(gè)圖像的，因?yàn)樗谠c(diǎn)處的幅度是無窮大，但是在“這一點(diǎn)”的面積又是1。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，人們一直猜測(cè)，連續(xù)函數(shù)必然是近乎可導(dǎo)的。即：

連續(xù)函數(shù)在其定義域中，除去有限個(gè)點(diǎn)外，總有一些光滑的可導(dǎo)部分，所謂不可導(dǎo)的點(diǎn)必然只是有限的。

1872年，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（集合論創(chuàng)始人康托爾的導(dǎo)師）利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)，數(shù)學(xué)描述如下：

這個(gè)函數(shù)奇葩在于，它處處連續(xù)，卻處處不可導(dǎo)。

簡(jiǎn)而言之，它的尖刺折點(diǎn)是如此之多，以至于無論你放多大，在多細(xì)微的尺度觀察任何一段，函數(shù)圖像都不會(huì)更光滑，它處處都是尖銳的。

它是一種不可測(cè)函數(shù)，你無法用筆畫出圖像的任何一部分，因?yàn)槊恳稽c(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都不存在，畫的人將無法知道每一點(diǎn)該朝哪個(gè)方向畫。

通過計(jì)算機(jī)逐點(diǎn)描繪，函數(shù)圖像大致是這樣的：

該反例構(gòu)造出來后，在數(shù)學(xué)界引起極大的震動(dòng)。

隨后，這個(gè)例子促成了一門新的學(xué)科“分形幾何”的產(chǎn)生，所謂“分形”，就是指某圖案的局部與整體具有相似性。

定義：

f(x) = 1/q，當(dāng)x = p/q，p為整數(shù)，q為自然數(shù)，pq互質(zhì)。即x為有理數(shù)；

f(x) = 0，當(dāng)x為無理數(shù)；

其中，q為自然數(shù)。

這個(gè)和狄利克雷函數(shù)比較類似。

如果我告訴你有一個(gè)函數(shù)，它確實(shí)有圖像，但是你卻畫不出來，你信嗎？

表達(dá)式為

當(dāng)X為無理數(shù)是，值取0

當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)，值取1

大家可以在腦海中想象一下，假設(shè)從X軸正方向出發(fā)，會(huì)發(fā)現(xiàn)無理數(shù)和有理數(shù)都是無窮多，即便在一個(gè)極短的區(qū)間內(nèi)，都無法畫全整個(gè)圖像

或者說腦海想象出的圖像，用肉眼看上去就是兩條直線：0和1，但這是由于點(diǎn)太密集導(dǎo)致的錯(cuò)覺，本質(zhì)來講根本不能叫直線，因?yàn)樘幪幉贿B續(xù)，處處都是分散的點(diǎn)。

即便如此，狄利克雷函數(shù)的圖像仍舊是客觀存在的。