第九章 不等式與不等式組教材內(nèi)容本章的主要內(nèi)容包括：一元一次不等式（組）及其相關(guān)概念，不等式的性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法及解集的幾何表示，利用一元一次不等式分析、解決實際問題。 教材以實際問題

第九章 不等式與不等式組

教材內(nèi)容

本章的主要內(nèi)容包括：一元一次不等式（組）及其相關(guān)概念，不等式的性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法及解集的幾何表示，利用一元一次不等式分析、解決實際問題。 教材以實際問題為例引出不等式及其解集的概念，然后類比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念。為進一步討論不等式的解法，接著討論了不等式的性質(zhì)，并運用它們解簡單的不等式。在此基礎(chǔ)上，教材從一個選擇購物商店問題入手，對列、解一元一次不等式作了進一步的討論，并歸納一元一次不等式與一元一次方程的異同及應(yīng)注意的問題。最后，結(jié)合三角形三條邊的大小關(guān)系，引進了一元一次不等式組及其解集，并討論了一元一次不等式組的解法。

教學目標

〔知識與技能〕1、了解一元一次不等式（組）及其相關(guān)概念；2、理解不等式的性質(zhì)；

3、掌握一元一次不等式（組）的解法并會在數(shù)軸上表示解集；4、學會應(yīng)用一元一次不等式（組）解決有關(guān)的實際問題。

〔過程與方法〕1、通過觀察、對比和歸納，探索不等式的性質(zhì)，在利用它解一元一次不等式（組）的過程中，體會其中蘊涵的化歸思想；2、經(jīng)歷“把實際問題抽象為一元一次不等式”的過程，體會一元一次不等式（組）是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)糸的一種有效的數(shù)學模型.

〔情感、態(tài)度與價值觀〕1、通過類比一元一次方程的解法從而更好地去掌握一元一次不等式的解法，樹立辯證唯物主義的思想方法；2、在利用一元一次不等式（組）解決問題的過程中，感受數(shù)學的應(yīng)用價值，提高分析問題、解決問題的能力。

重點難點

一元一次不等式（組）的解法及應(yīng)用是重點；一元一次不等式（組）的解集和應(yīng)用一元一次不等式（組）解決實際問題是難點。

課時分配

9.1不等式 ??????????????? ??????4課時

9.2實際問題與一元一次不等式 ???????????? 3課時

9.3一元一次不等式組 ???????????????? 2課時

9.4課題學習 利用不等式分析比賽 ????????? 1課時

本章小結(jié) ????????????????????? 2課時

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9.1.1不等式及其解集

[教學目標]1、了解不等式和一元一次不等式的概念；2、理解不等式的解和解集，能正確表示不等式的解集。

[重點難點] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重點；不等式解集的理解與表示是難點。

[教學過程]

一、情景導入[投影1]

一輛勻速行駛的汽車在11：20時距離A 地50千米，要在12：00以前駛過A 地，車速應(yīng)該具備什么條件？

題目中有等量關(guān)系嗎？

沒有。

那是什么關(guān)系呢？

從時間上看，汽車要在12：00之前駛過A 地，則以這個速度行駛50千米所用的時間不到2/3小時，即汽車駛過A 地的時間小于2/3小時。

從路程上看，汽車要在12：00之前駛過A 地，則以這個速度行駛2/3小時的路程要超過50千米，即汽車2/3小時走的路程大于50千米。

這些是不等關(guān)系。

二、不等式的概念

若設(shè)車速為每小時x 千米，你能用一個式子表示上面的關(guān)系嗎？

50/x ＜2/3 ① 或2/3x＞5 ②

像①②這樣用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子，是不等式。

我們還見過像a 2≠a 這樣用“ ≠”號表示的式子，也是不等式。

“>”、“<”、 “ ≠”叫做不等號，不等號也可以寫成“≤”、“≥”的形式。 總之，用不等號連接起來的式子叫做不等式。

思考1：下列式子中哪些是不等式？[投影2]

（1）a ＋b=b a （2）－3＞－5 （3）x ≠l

（4）x 十3>6 （5） 2m< n （6）2x-3

我們看到有些不等式不含未知數(shù)，有些不等式含有未知數(shù)。

類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式。

注意：像①中分母含有未知數(shù)的不等式不是一元一次不等式，這一點與一元一次方程類似。

三、不等式的解和解集

思考2：[投影3]判斷下列數(shù)中哪些能使不等式2/3x > 50成立：

76，73，79，80，74. 9，75.1，90，60

76， 79，80， 75.1，90能使不等式2/3x > 50成立。

我們把能使不等式成立的未知數(shù)的值, 叫不等式的解.

我們看到不等式的解不是一個， 你還能找出這個不等式的其他解嗎？它的解到底有多少個？

如77、81、101等等，所有大于75的數(shù)都是這個不等式的解，它的解有無數(shù)個。 一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。如所有大于75的數(shù)組成不等式2/3x > 50的解集，寫作x >7 5，這個解集可以用數(shù)軸來表示。

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求不等式的解集的過程叫做解不等式．

四、例題

例[投影4]在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：

(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1

解:

（1） （2）

（3）

（4）

注意:1. 實心點表示包括這個點, 空心點表示不包括這個點；2、步驟：畫數(shù)軸, 定界點, 走方向。、

五、課堂練習

課本123面1、2、3題。

六、課堂小結(jié)

1、什么是不等式？什么是一元一次不等式？

2、什么是不等式的解？什么是不等式的解集？

3、怎樣表示不等式的解集？

作業(yè)：

課本128面1、2、3、8。

9.1.2不等式的性質(zhì)（1）

[教學目標]1、 經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)的探索過程；2、理解不等式的性質(zhì)。

[重點難點] 不等式的性質(zhì)是重點；運用不等式的性質(zhì)進行判斷是難點。

[教學過程]

一、問題導入

對于比較簡單的不等式，我們可以直接想出它們的解集，但是對于比較復雜的不等式，要直接想出解集來就困難了。因些，有必要討論怎樣解不等式。

和學習一元一次方程先討論等式的性質(zhì)一樣，我們先來探索不等式有什么性質(zhì)。

二、不等式的性質(zhì)

做一做：用“>”、 “<” 填空：[投影1]

（1)5>3 , 5 2 3 2, 5-2 3-2；

（2)-1<3, -1 2 3 2, -1-3 3-3；

（3)6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)；

（4)-2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)。

觀察（1）（2），類比等式的性質(zhì)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減) 同一個數(shù)(或式子), 不等號的方向不變。

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即 如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c.

觀察（3），類比等式的性質(zhì)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以) 同一個正數(shù), 不等號的方向不變.

即 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).

觀察（4），類比等式的性質(zhì)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以) 同一個負數(shù), 不等號的方向改變。

即 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).

思考：①比較上面的性質(zhì)2與性質(zhì)3，看看它們有什么區(qū)別？

性質(zhì)2的兩邊乘或除的是一個正數(shù)，不等號的方向沒有變；而性質(zhì)3的兩邊乘或除的是一個負數(shù)，不等號的方向改變了。

②比較等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)，它們有什么異同？

等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)1、2，除了一個說“等式仍然成立”，一個說“不等號方向不變”的說法不同外，其余都一樣；而不等式的性質(zhì)3說“不等號方向改變”，這與等式的性質(zhì)說法不同。

三、例題

例1 [投影2]利用不等式的性質(zhì)填“>”, “<” :

(1)若a>b,則2a 2b;

(2)若-2y<10,則y -5;

(3)若a0,則ac-1 bc-1;

(4)若a>b,c<0,則ac 1 bc 1。

分析：不等式的兩邊發(fā)生了怎樣的變化？填“>”或“<”的依據(jù)是什么？

解：（1）>，（2）<，（3）>，（4）<。

四、 課堂練習

1、判斷正誤：[投影3]

（1）∵a < b ∴ a－b < b－b

（2）∵a < b ∴a/3＜b/3

（3）∵a < b ∴ －2a < －2b

（4）∵－2a > 0 ∴ a ＜ 0

2、根據(jù)下列已知條件，說出a 與b 的不等關(guān)系，并說明依據(jù)不等式哪一條性質(zhì)。[投影4]

（1）a －3 > b－3 （2）a/3＜b/3

（3）－4a > －4b （4）1-1/2a＜1-1/2b

3、填空[投影5]

（1）∵ 2a > 3a ∴ a是 數(shù)

（2）∵a/3＜a/2 ∴ a是 數(shù)

（3）∵ax < a且 x > 1 ∴ a是 數(shù)

作業(yè)：

課本128面4、5、7。

9.1.2 不等式的性質(zhì)（二）

[教學目標]掌握一元一次不等式的解法。

[重點難點] 一元一次不等式的解法是重點；不等式性質(zhì)3在解不等式中的運用是難點。

[教學過程]

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一、復習導入

[投影1]不等式的性質(zhì)有哪些？不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)有什么不同？

和利用等式的性質(zhì)可以解方程一樣，利用不等式的性質(zhì)可以解不等式。

二、不等式的解法

例1 解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：[投影2]

(1) x－7＞26 （2）3x < 2x＋1

（3）2/3x ≥ 50 (4)-4x≤3

分析：解不等式最終要變成什么形式呢？

就是要使不等式逐步化為x ＞a 或x

解：(1) x－7＞26

根據(jù)等式的性質(zhì)1，得x －7 7＞26 7

∴x ＞33

（2）3x < 2x＋1

根據(jù)等式的性質(zhì)1，得3x-2x < 2x＋1-2x

∴x<1

（3）2/3x ≥ 50

根據(jù)等式的性質(zhì)2，得x ≥ 50×3/2

∴x ≥7 5

(4)-4x≤3

根據(jù)等式的性質(zhì)3，得 x≤-3/4。

注意：運用不等式的性質(zhì)1，實際上是方程中的“移項”。

例2 解不等式：1/2x-1≤2/3(2x 1) [投影1]

分析：我們知道，解不等式的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，而不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)類似，因此，解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟基本相同。

解：去分母，得 3x-6≤4(2x 1)

去括號，得 3x-6≤8x 4

移項，得 3x-8x≤4 6

合并，得-5x ≤10

系數(shù)化為1，得 x≥-2

歸納：解一元一次不等式的步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）糸數(shù)化為1。

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四、課堂練習

課本127面練習1題；134面練習1題。

作業(yè)：

課本134面1題。

9.1.2 不等式的性質(zhì)（三）

[教學目標]運用不等式解決有關(guān)的問題，初步認識一元一次不等式的應(yīng)用價值。

[重點難點] 不等式的運用是重點；尋找不等關(guān)系是難點。

[教學過程]

一、復習新課

上節(jié)課我們學習了不等式的解法，請問：解不等式的依據(jù)是什么？解不等式的步驟是什么？

有很多問題與不等式相聯(lián)系，需要運用不等式來解決。

二、不等式的初步應(yīng)用

例1[投影1]三角形任意兩邊之差與第三邊有著怎樣的大小關(guān)系？

分析：三角形任意兩邊之和與第三邊有著怎樣的大小關(guān)系？

a

解：設(shè) a、b 、c 為任意一個三角形的三條邊的長，則

a b＞c, b c＞a, c a＞b.

移項，得

a ＞c-b, b＞a-c, c＞b-a.

上面的式子說明了什么？

三角形中任意兩邊之差小于第三邊。

歸納：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

例2 [投影2] 已知x=3-2a是不等式1/5(x-3)＜x-3/5的解，求a 的取值范圍。 分析：由不等式解的意義，你能知道什么？

解：依題意，得

1/5[(3-2a) -3]＜(3-2a) -3/5

1/5·（-2a ）＜12/5-2a

-2a＜12-10a

8a＜12

∴a ＜3/2

例3[投影3] 某長方體形狀的容器長5 cm，寬3 cm，高10 cm.容器內(nèi)原有水的高度為

33 cm ，現(xiàn)準備繼續(xù)向它注水．用V （單位： cm）表示新注入水的體積，寫出V 的取值范圍。

分析：新注入水的體積應(yīng)滿足什么條件？

新注入水的體積與原有水的體積的和不能超過容器的體積。

解：依題意，得

V 3×5×3≤3×5×10

∴V ≤105。

思考：這是問題的答案嗎？為什么？

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不是，因為新注入水的體積不能是負數(shù)，所以V ≥0。

∴ 0≤V ≤105

在數(shù)軸上表示為：

注意：解答實際問題時，一定要考慮問題的實際意義。

三、課堂練習

1、課本127面練習2；

2、補充題：[投影4]小華準備用21元錢買筆和筆記本，已知每支筆3元，每本筆記本

2.2元，她買了2本筆記本，請問她最多還能買幾支筆？

作業(yè)：

課本134面2、3；128面9；129面10。

第九章不等式復習一（9.1）

一、雙基回顧

1、不等式：用等號（＜、≤、＞、≥）連接起來的式子，叫做不等式。

〔1〕用不等式表示：

①x 與1的差是負數(shù)： ； ②a 的1/2與b 的3倍大于2 ；

③x 、y 的平方和是非負數(shù) 。

2、不等式的解和解集

使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

注意：解集包括解，所有的解組成解集；解是一個數(shù)，解集是一個范圍。

〔2〕判斷下列說法是否正確：

①4是不等式x ＋3＞6的解；②不等式x ＋2＞1的解是x ＞－1；③3是不等式x ＋2＞5

的一個解；④不等式x ＋1＜4的解集是x ＜2.

3、一元一次不等式：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不

等式。

〔3〕下列不等式是一元一次不等式的是 .

2①3x 5=1；②2y-1≤5；③2/x 1＞3；④5 2＜8; ⑤3 x≥x.

4、不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變.

即 如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c.

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變. 即 如果a ＞b ，c ＞0，

那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).

（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變. 即 如果a ＞b ，c ＜

0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).

注意：①不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)有相通之處，又有不同之點；②不等式的性質(zhì)是解

不等式的依據(jù)。

〔4〕已知a ＞b ，填空：①a 3 b 3, ②2a 2b, ③- a/3 －b/3，④a －

b 0.

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5、解一元一次不等式

〔5〕解一元一次不等式: 2x≥5x 6，并在數(shù)軸上表示解集。

二例題導引

例1 判斷正誤：

2222①若a ＞b, 則 ac＞bc ；②若ac ＞bc ,則a ＞b ；③若2 a 1＞2b 1, 則a ＞b ；④若a

＞b, 則1－2 a＞1－2b.

例2 解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。

（1）3（1－x ）＜2(x 9); (2) 1-x 1-2x . -1≤32

例3 a 取什么自然數(shù)時，關(guān)于x 的方程2－3x= a解是非負數(shù)？

例4 小明和小麗決定把省下來的零用錢存起來，這個月小明顧慮了168元，小麗顧慮了85元，從下個月開始小明每月顧慮16元，而小麗每月存25元，問幾個月后小麗的存款數(shù)能超過小明？

三、練習提高

夯實基礎(chǔ)

1、已知x 的1/2與5的差不小于3，用不等式表示為 。

2、若不等式組的解集為-1≤x ，則圖中表示正確的是（ ）

C

D

3、設(shè)A 、B 、C A ”、“ B ”、“C ）

（A ） A B C （B ）C A B （C ） B A C （D ） B

C A

4、如果x ＞y ，下列各式中不正確的是[ ]

A 、1/2＋x ＞1/2＋y B、－1/2＋x ＞－1/2＋y

C 、1/2 x＞1/2 y D、 －1/2 x＞－1/2 y

5、當x 時，2-3x 為非正數(shù).

6、已知點M （－5＋m,-3）在第三象限，則m 的取值范圍是 。

7、當x 時，式子3x -5的值大于5x 3的值。

8、陽陽從家到學校的路程為2400米，他早晨8點離開家，要在8點30分到8點40分之間到學校，如果用x 表示他的速度（單位：米/分），則x 的取值范圍為 。

9、已知x=3-2a是不等式1/5（x-3）＜x-3/5的解，那么a 的取值范圍是 。

10、解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集。

（1）4x-1＜-2x 3; (2) 3(x 1) ＞2

（3）1/2 x≥-2/3 x-2 (4) 1/2x-7＜1/6(9x-1)

11、已知關(guān)于x 的方程2x 12=4a -3x 的解是非正數(shù)，求a 的取值范圍.

能力提高

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12、已知a 是一個數(shù)，且x ＞y ，則下列不等式中，正確的是（ ）

2222 Ａ、ax ＞ay B 、ax ≤ay Ｃ、a x ≥a y D 、a x ≤a y

13、不等式3（x-2）＜x-1的自然數(shù)解是

14、不等式ax ＞a 的解集為x ＜1，則a 的取值范圍是（ ）

A 、a ＞0 B、a ≥0 C、a ＜0 D、a ≤0

15、如果三個連續(xù)自然數(shù)的和不大于９，那么這樣自然數(shù)共有組___________。

16、解下列不等式，并分別把它們的解集在數(shù)軸上表示出來.

（1）3-2（x-1）＞5x ； （2）3/4-8x≤3-11/2x

（3）4/5-（2x-3）/2＜0 （4）1-

2x -21 4x ≤262 16、k 取什么值時，式子1/2(1-5k-1/3k) 2/3(k/4-k)的值, （1）小于0？（2）不小

于0？

17、某學校把學生的筆試、實踐能力兩項成績分別按60，40的比例計入學期總成績，小明實踐能力這一項成績是81分，若想學期總成績不低于90分，則筆試的成績至少是多少分？

探索創(chuàng)新

18、已知方程組??3x 2y =m 1，m 為何值時，x ＞y ？ 2x y =m -1?

9.2 實際問題與一元一次不等式（一）

[教學目標] 學會從實際問題中抽象出不等式模型，會用一元一次不等式解決實際問題。

[重點難點] 用一元一次不等式解決實際問題是重點；找不等關(guān)系是難點。

[教學過程]

一、導入新課

我們知道，在生產(chǎn)和生活中存在大量的等量關(guān)系，與此同時，我們也看到在生產(chǎn)和生活中存在著大量的不等關(guān)系，解決這些問題，用不等式比較方便。

二、例題

例1[投影1] 某次知識競賽共有20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分. 小明得分要超過90分，他至少要答對多少道題？

分析：“超過90分”是什么意思？本題的不等關(guān)系是什么？

“超過90分”就是大于90分；不等關(guān)系是：答對的得分-答錯或不答的扣分＞90。 解：設(shè)小明答對x 道題，則他答錯或不答的題數(shù)為20-x 。根據(jù)他的得分要超過90，得

10x-5(20-x) ＞90

10x-100 5x ＞90

15x ＞90

∴x ＞38/3

思考： 這是本題的答案嗎？為什么？

這不是本題的答案。因為x 是正整數(shù)且不能大于20，所以 小明至少要答對13題。

例2[投影2] 2002年北京空氣質(zhì)量良好（二級以上）的天數(shù)與全年天數(shù)之比達到55，如果到2008年這樣的比值要超過70，那么2008年空氣質(zhì)量良好的天數(shù)要比2002年至少增加多少？

分析：2002年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是多少？用x 表示2008年增加的空氣質(zhì)量良好

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的天數(shù)，則2008年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是多少？本題的不等關(guān)系是什么？

2002年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是365×55;2008年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是x 365×55;不等關(guān)系是:2008年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)÷366 ＞70.

解：設(shè)2008年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)比2002年增加x 天，依題意，得

（x 365×55）/366 ＞70

去分母，得

x 200.5 ＞256.2

移項，合并同類項，得 x＞55.45

思考：這是本題的答案嗎？為什么？本題的答案是什么？

不是。因為x 為正整數(shù)。

∴x ≥56

答：2008年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)至少比2002年增加56天。

注意：用不等式解應(yīng)用問題時，要考慮問題的實際意義。例1與例2中的未知數(shù)都應(yīng)是正整數(shù)。

三、課堂練習課本134練習2、3。

四、課堂小結(jié)

用一元一次不等式解決實際問題與用一元一次方程解決實際問題一樣，要將實際問題通過列一元一次不等式轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后通過解決數(shù)學問題來解決實際問題。

作業(yè)：課本134面3（1）、（3）；129面12；135面5、7題。

9.2 實際問題與一元一次不等式（二）

[教學目標] 會從實際問題中抽象出不等式模型，進一步學會用一元一次不等式解決實際問題。

[重點難點] 用一元一次不等式解決實際問題是重點；找不等關(guān)系是難點。

[教學過程]

一、導入新課

上節(jié)課我們討論了用不等式解決實際問題，這節(jié)課我們繼續(xù)討論這個問題。

二、例題

例[投影1] 甲、乙兩個商場以同樣的價格出售同樣的商品，同時又各自推出不同的優(yōu)惠措施．甲商場的優(yōu)惠措施是：累計購買100元商品后，再買的商品按原價的90％收費；乙商場則是：累計購買50元商品后，再買的商品按原價的95％收費．顧客選擇哪個商店購物能獲得更多的優(yōu)惠？

分析：由于甲商場優(yōu)惠措施的起點為購物100元，乙商場優(yōu)惠措施的起點為購物50元，起點數(shù)額不同，因此必須分別考慮．你認為應(yīng)分哪幾種情況考慮？

分三種情況考慮：①累計購物不超過50元；②累計購物超過50元但不超過100元；③累計購物超過100元。

（1）如果累計購物不超過50元，則在兩店購物花費有區(qū)別嗎？為什么？

沒有區(qū)別。因為兩家商店都沒有優(yōu)惠。

（2）如果累計購物超過50元但不超過100元，則在哪家商店購物花費??？為什么？ 在乙商店購物花費小。因為乙商店有優(yōu)惠，而甲商店沒有優(yōu)惠。

（3）如果累計購物超過100元，那么在哪家商店購物花費??？

因為兩家商店都有優(yōu)惠，所以要分三種情況考慮：

設(shè)累計購物x 元(x＞100) ，則在甲商店購物花費多少元？在乙商店購物花費多少元？

在甲商店購物花費：100 0.9(x-100)元；在乙商店購物花費：50 0.95(x-50)。 ① 若在甲商場購物花費小，則

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