正交變換幾何意義？幾何意義：正交變換是保持圖形形狀和大小不變的幾何變換，包括旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱以及上述變換的組合。歐氏空間V的線性變換σ如果保持向量?jī)?nèi)積不變，則稱為正交變換，即對(duì)于任意α，β∈V，都有

正交變換幾何意義？

幾何意義：正交變換是保持圖形形狀和大小不變的幾何變換，包括旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱以及上述變換的組合。歐氏空間V的線性變換σ如果保持向量?jī)?nèi)積不變，則稱為正交變換，即對(duì)于任意α，β∈V，都有（σ（α），σ（β））=（α，β）等價(jià)刻劃。設(shè)σ是n維歐氏空間V的線性變換，則下列四個(gè)命題是等價(jià)的。1σ是正交變換。2σ保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于任意α∈V，σ（α）=α3｜1，ε｜2，…，ε｜如果n是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則σ（ε｜1），σ（ε｜2），…，σ（ε｜n）在任意正交基組下的σ矩陣是正交矩陣。正交矩陣的定義：N級(jí)實(shí)矩陣A稱為正交矩陣，如果A“A=E.（A”表示A的轉(zhuǎn)置，E是單位矩陣）設(shè)A是N維歐氏空間v的正交變換，如果A=1，則σ稱為第一類正交變換。如果a=-1，則σ稱為第二類正交變換。

正交變換幾何意義？

二次型可以通過(guò)正交變換轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)型平方項(xiàng)的系數(shù)是二次矩陣的特征值。它也可以通過(guò)一般同余變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形。正交變換是一種特殊的同余變換。正交變換的幾何意義不同于一般的契約變換。正交變換等價(jià)于幾何中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，因此不會(huì)改變圖形的形狀。例如，X1^2 2x1x2^2=1表示兩條直線。通過(guò)正交變換將左二元二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，即2y1^2。在新的直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為2y1^2=1，即一條兩天的直線。例如，X1^2 4x2^2=1是一個(gè)橢圓，但左邊的二次型可以通過(guò)收縮變換變換成Y1^2 Y2^2，這個(gè)方程就可以變換成一個(gè)圓方程。

什么叫正交變換？為什么要正交變換？

它從真實(shí)的內(nèi)積空間V映射到V本身，并在變換前后保持內(nèi)積不變。

正交變換x=py：表示矩陣P正交，即P的列（行）向量正交，長(zhǎng)度I為1。

正交矩陣滿足：P^TP=PP^t=e，即P^（-1）=P^t。

2。正交變換的作用：1。正交變換可以把二次型變換成標(biāo)準(zhǔn)型。。在二次型中，我們希望找到一個(gè)可逆矩陣C，通過(guò)可逆變換x=cy，使二次型f=x^tax=（cy）^tacy=y^t（C^TAC）y成為標(biāo)準(zhǔn)形式，即使C^TAC成為對(duì)角矩陣。

②正交變換可以用來(lái)研究圖形的幾何特性。由于向量的長(zhǎng)度和內(nèi)積保持不變，所以兩個(gè)向量的角度和正交性保持不變。因此，經(jīng)過(guò)正交變換后，圖形的幾何形狀保持不變，可以通過(guò)正交變換來(lái)研究圖形的幾何特性。

高分求解：（線性代數(shù)）為什么正交變換能保持幾何形狀的不變性？

讓任意兩點(diǎn)a和B，向量OA和ob，分別坐標(biāo)a和B，以及正交矩陣t。然后a“=TA，B”=TB。證明了| a“|=| a”、| B“|=| B”、| ab“|=| ab”、<A、B>=<A”、B“>，即變換后任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)的距離、任意兩點(diǎn)之間的距離及其夾角不變。此變換是原點(diǎn)固定的旋轉(zhuǎn)變換，因此幾何體不會(huì)更改。