剩余，又稱剩余，是復變函數(shù)理論中的一個重要概念。是解析函數(shù)f（z）沿簡單正閉合曲線的積分值。定義為：F（z）在0，則整數(shù)值（1/2πI）∫| z-a |=RF（z）DZ是F（z）相對于點a的余數(shù)，表示

剩余，又稱剩余，是復變函數(shù)理論中的一個重要概念。是解析函數(shù)f（z）沿簡單正閉合曲線的積分值。

定義為：F（z）在0

，則整數(shù)值（1/2πI）∫| z-a |=RF（z）DZ是F（z）相對于點a的余數(shù)，表示為res[F（z），a]。如果f（z）是平面速度場的復速度，a是它的渦源點（即渦中心或源匯中心），則積分∫| z-a |=RF（z）DZ表示渦源-環(huán)狀流的強度，所以留數(shù)是環(huán)形流除以2πI的值。由于解析函數(shù)可以在孤立奇點附近展開成勞倫特級數(shù)：F（z）=∑AK（z-a）k，如果我們沿著| z-a |=R逐項積分，我們可以立即看到res[F（z），a]=a-1，這表明留數(shù)是負的系數(shù)孤立奇點處解析函數(shù)的洛朗展開的第一次冪項。

在復分析中，留數(shù)定理是計算解析函數(shù)沿閉合曲線的路徑積分的有力工具，也可以用來計算實函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。

留數(shù)定理：設d為復平面上的單連通開域，C為其邊界，函數(shù)f（z）除d中有限個奇點A1，A2，…，an外為解析函數(shù)，閉域dc中除A1，A2，…，an外為連續(xù)函數(shù)，則C中的輪廓積分∑f（z）DZ=2πI∑res（f（z），AK）