分段函數必連續(xù)嗎？不一定。分段函數是否為連續(xù)函數取決于兩點。首先，在分段點上有什么定義嗎？第二，分割點的兩邊是否連續(xù)（簡言之，左極限和右極限存在且相等）。從圖像上看，連續(xù)函數應該是定義域內的連續(xù)曲線。

分段函數必連續(xù)嗎？

不一定。分段函數是否為連續(xù)函數取決于兩點。首先，在分段點上有什么定義嗎？第二，分割點的兩邊是否連續(xù)（簡言之，左極限和右極限存在且相等）。從圖像上看，連續(xù)函數應該是定義域內的連續(xù)曲線。對于第一種情況，例如函數y=（x-1）/（x-1），它不是在點x=1處定義的。對于第二種情況，例如Tan函數，左極限和右極限不存在，并且在x=pi/2時不相等。函數y=1（x0），是一個連續(xù)的分段函數。

分段函數連續(xù)的條件？

判斷一個分段函數在域中是否連續(xù)的關鍵是它在分段點上是否連續(xù)。如果不在分段點上，則分段函數是初等的連續(xù)函數。線段是否連續(xù)，一般用左連續(xù)或右連續(xù)來判斷。例如，如果分段點是a，我們可以分別從a的左側找到x趨向于a的極限，從a的右側找到x趨向于a的極限。如果兩者都等于f（a），也就是說它們是左連續(xù)和右連續(xù)的，那么它們在a中是連續(xù)的，否則它們就不是連續(xù)的

，當分段點的兩個解析表達式對應的y相等時，它們是連續(xù)的。例如，最簡單的一個是當x>=0時y=2x，當x<0時y=x，它是連續(xù)的，因為x=0的兩個解析表達式對應相同的y，我們要看分段函數的函數表達式是否連續(xù)（這是初等函數是否連續(xù)的一般方法），然后要看分段函數的左右極限是否等于函數值，如果相等，它們是連續(xù)函數。剖切點的左極限由左函數確定，剖切點的右極限由右函數確定。函數y=f（x）當自變量x的變化很小時，因變量y的變化也很小。例如，如果溫度隨時間變化，只要時間變化很小，溫度的變化也很小；再如，如果自由落體的時間變化隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也很小。對于這一現象，我們認為因變量相對于自變量是連續(xù)變化的，連續(xù)函數在直角坐標系中的像是一條沒有斷裂的連續(xù)曲線。如果自變量在某一點的增量趨于零，則相應函數值的增量也趨于零，則f（x）在該點稱為連續(xù)的。函數極限的定義中強調了當x→x0時f（x）是否有極限與f（x）在x0點是否有定義無關。然而，由于函數在x0處是連續(xù)的，這意味著f（x0）必須存在。顯然，當Δx=0（即x=x0）時，Δy=0<ε。因此，在上述推導中，可以取消0< |Δx |的條件。