有限維Hilbert空間是什么呢？希爾伯特空間是由空間的內積定義的，它的元素沒有任何限制，只要定義元素之間的內積就行，特殊情況下的有限維希爾伯特空間：一般幾何空間、多項式空間等向量空間指的是線性空間，

有限維Hilbert空間是什么呢？

希爾伯特空間是由空間的內積定義的，它的元素沒有任何限制，只要定義元素之間的內積就行，特殊情況下的有限維希爾伯特空間：一般幾何空間、多項式空間等向量空間指的是線性空間，即，空間中的元素滿足線性關系。線性空間的特點是它有一組基，可以用來表示整個空間?？梢宰C明，只要定義內積，元素之間的線性關系就滿足。因此，Hilbert空間也可以定義為定義內積的空間。所以Hilbert空間是一種特殊的線性空間

在數(shù)學領域，Hilbert空間是歐氏空間的推廣，它不再局限于有限維的情況。與歐幾里德空間類似，希爾伯特空間也是一個內積空間，其中包含了距離和角度的概念（以及由此衍生的正交性和垂直度的概念）。另外，Hilbert空間也是一個完全空間，所有的Cauchy序列都等價于收斂序列，因此微積分中的大多數(shù)概念都可以無障礙地推廣到Hilbert空間。Hilbert空間為任意正交系統(tǒng)的Fourier級數(shù)和基于多項式表示的Fourier變換提供了一種有效的表達式，也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數(shù)學和量子力學的核心概念之一。

對于復向量空間H上的給定內積，可以如下導出范數(shù)：

如果此空間對于此范數(shù)是完全的，則稱為希爾伯特空間。這里的完備性意味著每個Cauchy序列收斂到這個空間中的一個元素，也就是說，它們和一個元素之間的范數(shù)差的極限為0。任何Hilbert空間都是Banach空間，反之亦然。

任何有限維內積空間（如歐氏空間及其點積）都是希爾伯特空間。但從實際應用的角度來看，無窮維希爾伯特空間更具價值，如

*酉群的表示理論。

*平方可積隨機過程理論。

*希爾伯特空間偏微分方程理論，特別是狄里克萊問題。函數(shù)譜分析與小波理論。

*量子力學的數(shù)學描述。

內積可以幫助人們從“幾何”的角度研究希爾伯特空間，用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無限維拓撲向量空間中，Hilbert空間的性質最好，最接近于有限維空間的情形。

傅里葉分析的一個重要目的是將給定函數(shù)表示為給定基函數(shù)族的和（可能是無窮和）。在Hilbert空間中，這個問題可以更抽象地描述為：任何Hilbert空間都有一個正交基族，每個Hilbert空間中的元素可以唯一地表示為基族中元素的和或它們的倍數(shù)。

希爾伯特空間的確切定義？

希爾伯特空間是一類具有內積的Banach空間。Hilbert空間給出的是內積，它決定了一個范數(shù)，即X的范數(shù)定義為X和它自身的內積。所以Hilbert空間自然就變成了Banach空間。很容易解釋內積定義的范數(shù)滿足平行四邊形方程，即。因此，不滿足平行四邊形等式范數(shù)的Banach空間不能是Hilbert空間。

Banach空間與Hilbert空間的關系？

如果度量空間在實數(shù)或復數(shù)字段中是完全的，則稱為完全度量空間。實域或復域上的完全線性賦范空間稱為Banach空間。內積空間是一種特殊的線性賦范空間，一個完備的內積空間稱為Hilbert空間，它的范數(shù)是由一個內積導出的。

本文將“范數(shù)”賦給線性空間，然后基于范數(shù)導出距離，即線性賦范空間。完全線性賦范空間稱為Banach空間。從標準，我們可以看到長度。線性賦范空間等價于定義長度的空間。所有線性賦范空間都是距離空間。

在有限維空間中，向量的范數(shù)等于其模的長度。但在有限維歐氏空間中，有一個非常重要的概念——向量之間的夾角，特別是兩個向量的正交性。內積空間是一種特殊的線性賦范空間。在這類空間中，我們可以引入正交性和投影的概念，從而在內積空間中建立相應的幾何。利用由內積導出的范數(shù)定義距離，Banach空間變成Hilbert空間。

4.2差分

在度量空間中，點序列的極限是由距離的概念引入的，而只有距離結構而沒有代數(shù)結構的空間在應用過程中受到限制。線性賦范空間和內積空間是距離結構和代數(shù)結構相結合的產(chǎn)物，它們比距離空間有很大的優(yōu)勢。

線性賦范空間是指在線性空間中，向量給定一個范數(shù)，即指定向量的長度，但不指定向量的角度。

在內積空間中，向量不僅有長度，而且有兩個向量之間的夾角。特別地，定義了正交性的概念。正交性的概念是賦范線性空間與內積空間的本質區(qū)別。任何內積空間都是線性賦范空間，但線性賦范空間不一定是內積空間。

賦范線性空間X成為內積空間的充要條件是：norm‖。“對于所有x，y屬于x，滿足

‖x，y‖2‖x-y‖2=2‖x‖2‖y‖2（3-3）

上述公式（3-3）稱為平行四邊形公式或中線公式。

距離空間,線性空間,賦范線性空間,Banach空間,內積空間,Hilbert空間的內在關系？

范數(shù)可以由內積空間中的內積定義。相反，范數(shù)不必用內積來定義，所以賦范線性空間是一個比內積空間更廣泛的概念。距離可以用范數(shù)來定義。相反，只有距離滿足平移不變性和均勻性，才能定義范數(shù)。因此，度量空間比賦范線性空間更寬。Banach空間是完全賦范線性空間。希爾伯特空間是一個完備的內積空間。所以Hilbert空間是Banach空間的特例，Banach空間是完備度量空間的特例。