怎樣證明無限循環(huán)群和任意循環(huán)群同態(tài)？設(shè)g=<x是無限循環(huán)群，X是它的生成元，H=<A是n階循環(huán)群，a是它的生成元。定義映射σ：g-h，x-a。直接驗證表明σ是從g到h的群同態(tài)。此外，很容易證明

怎樣證明無限循環(huán)群和任意循環(huán)群同態(tài)？

設(shè)g=<x是無限循環(huán)群，X是它的生成元，H=<A是n階循環(huán)群，a是它的生成元。定義映射σ：g-h，x-a。直接驗證表明σ是從g到h的群同態(tài)。此外，很容易證明σ是完全同態(tài)（即σ=h的映像），其同態(tài)核=<x^n，即x^n生成的子群。

循環(huán)群必為交換群，但交換群未必是循環(huán)群，這句話對嗎？

由一個元素生成的群一定是循環(huán)群嗎?還有循環(huán)群一定是由一個元素生成嗎？

由一個元素生成的群必須是循環(huán)群，因為循環(huán)群可以由一個元素生成。循環(huán)群的定義是任何元素都可以表示為固定元素的冪。此外，循環(huán)群也是交換群。第二個問題：循環(huán)群可以由一個元素生成，這個元素被稱為循環(huán)群的生成器。循環(huán)群的生成器可能不是唯一的。

為什么說階不大于5的群必是交換群呢？

循環(huán)群必須是阿貝爾的，所以有限循環(huán)群和無限循環(huán)群是阿貝爾的。

帶證明：

證明：設(shè)（g，*）為循環(huán)群，A為g的生成元。

設(shè)

]群（g，*）為阿貝爾群。

4。一些重要結(jié)論

]1。循環(huán)群的子群必須是循環(huán)群，

2。如果| g |是素數(shù)，那么群g必須是交換群，

3。如果| g |≤5，則群g必須是交換群，

4。如果G是有限循環(huán)群，| G |=n，]