證明一個至少有兩個元素的且沒有零因子的有限環(huán)，R是一個除環(huán)？證明：設(shè)v是R中非零元素的集合。我們知道v中至少有一個元素。對于任何a，B屬于v。因?yàn)镽中的乘法形成一個半群，a*B屬于R。因?yàn)镽是一個沒有

證明一個至少有兩個元素的且沒有零因子的有限環(huán)，R是一個除環(huán)？

證明：設(shè)v是R中非零元素的集合。我們知道v中至少有一個元素。對于任何a，B屬于v。因?yàn)镽中的乘法形成一個半群，a*B屬于R。因?yàn)镽是一個沒有零因子的環(huán)，a和B不等于0，a*B屬于v，也就是說，v接近乘法。顯然，V中的任何一對元素都滿足結(jié)合律，因此V構(gòu)成一個半群。因?yàn)镽是一個沒有零因子的環(huán)，乘法滿足消去律，所以V中的乘法也滿足消去律。因此，任何滿足消去律的有限半群都構(gòu)成一個群。那么R中的所有非零元素組成一個群，所以R是一個除環(huán)。

在一個有單位元的環(huán)r里，一個零因子a一定是可逆元嗎？

不可能；首先，什么是零因子？左零因子是將左非零元素相乘得到零的元素，它可以將左非零元素轉(zhuǎn)換為零。右零因子的定義是相似的。每個環(huán)都有一個元素0，它必須是零因子，而在非零環(huán)中，0是不可逆的。如果非零元素a是左零因子，則滿足a≠0，B≠0，ab=0。如果a是可逆的，那么B=0是通過將方程兩邊a的逆元素相乘得到的。非零元素a是左零因子?？偠灾?，零因素是不可逆轉(zhuǎn)的

我記得這個問題在網(wǎng)上引起了熱烈的討論，但沒有最終的權(quán)威標(biāo)準(zhǔn)答案。

在我看來，這兩個答案都是正確的。但是，我們必須把它們?nèi)苛谐?，以免一邊倒。原因如下?/p>

在這個問題中，被乘數(shù)“1”和乘數(shù)“0”都是自然數(shù)。而且因?yàn)闆]有其他的話題限制，二者的邏輯地位應(yīng)該是平等的。因此，應(yīng)該分別從被乘數(shù)1和乘數(shù)0的角度來研究。

1. 從被乘數(shù)1的角度看：在自然數(shù)中，1乘以任意數(shù)，數(shù)不變。因此，可以認(rèn)為1x0=0是由于被乘數(shù)1的性質(zhì)，它保持乘數(shù)0不變；

2。從乘數(shù)0的角度來看：在自然數(shù)中，0乘以任何數(shù)，結(jié)果就是0。因此，可以說1x0=0是由于乘數(shù)0的性質(zhì)，它保持自然數(shù)0不變。

1×0=0,是因?yàn)?乘以任何數(shù)字都等于0，還是因?yàn)?乘以任何數(shù)字都等于它的本身？

整數(shù)不是數(shù)字字段。場的所有非零元素都必須具有乘法和加法逆。

場的定義：設(shè)f是單位為1（≠0）的交換環(huán)。如果F中的每個非零元素都是可逆的，則稱F為場。例如有理數(shù)域、剩余類域、典型域、有理函數(shù)域、半純函數(shù)域等。

整數(shù)滿足乘法的可交換率，但除1外沒有任何逆元素。例如，2在整數(shù)集合中，而0.5不是。

所以整數(shù)只是一個環(huán)，而不是一個字段。

多項式也是如此。大多數(shù)多項式?jīng)]有乘法逆。例如，X-1沒有。