1×0=0,是因為0乘以任何數(shù)字都等于0，還是因為1乘以任何數(shù)字都等于它的本身？我記得這個問題在網(wǎng)上引起了熱烈的討論，但沒有最終的權(quán)威標(biāo)準(zhǔn)答案。在我看來，這兩個答案都是正確的。但是，我們必須把它們?nèi)?/p>

1×0=0,是因為0乘以任何數(shù)字都等于0，還是因為1乘以任何數(shù)字都等于它的本身？

我記得這個問題在網(wǎng)上引起了熱烈的討論，但沒有最終的權(quán)威標(biāo)準(zhǔn)答案。

在我看來，這兩個答案都是正確的。但是，我們必須把它們?nèi)苛谐?，以免一邊倒。原因如下?/p>

在這個問題中，被乘數(shù)“1”和乘數(shù)“0”都是自然數(shù)。而且因為沒有其他的話題限制，二者的邏輯地位應(yīng)該是平等的。因此，應(yīng)該分別從被乘數(shù)1和乘數(shù)0的角度來研究。

1. 從被乘數(shù)1的角度看：在自然數(shù)中，1乘以任意數(shù)，數(shù)不變。因此，可以認(rèn)為1x0=0是由于被乘數(shù)1的性質(zhì)，它保持乘數(shù)0不變；

2。從乘數(shù)0的角度來看：在自然數(shù)中，0乘以任何數(shù)，結(jié)果就是0。因此，可以說1x0=0是由于乘數(shù)0的性質(zhì)，它保持自然數(shù)0不變。

你能證明：0^0=1嗎？

在整數(shù)環(huán)中，0?不存在（無意義），因為：

0?=0?ν=0ü·0?ü，0 0?ü的逆不存在。

有理數(shù)域、實數(shù)域和復(fù)數(shù)域都是整數(shù)環(huán)的擴(kuò)展，所以0?仍然沒有意義。

假設(shè)存在一個?KUL，則存在一個·a?KUL=1（1）。然而，由于a是零因子，存在B≠0（2），使得B·a=0。則式（1）兩邊B的左乘有，B·a·a?KUL=B·1，0=B，通過簡化得到，這與式（2）是矛盾的。

對于環(huán)中的任何可逆元素a，都有a?=aü?к=aü·aüк=1。

當(dāng)然，在零環(huán)（只有一個元素的環(huán)）中，因為1=0，0?ull=1?ull=1=0，那么0?ull=1=0。（這可能是問題所有者想要的答案）

補(bǔ)充（2019年10月3日）：

上面給出的解釋是有缺陷的，因為按照這種思維方式，它如下：

0ν=0？? а = 0? · 0? ?а

這導(dǎo)致了0а的無意義，但顯然0а=0是有意義的。

更好的解釋如下：

考慮A?=1的求導(dǎo)過程，

有，A=Aü=Aü+Aü=Aü·A?，即Aü·A?=A，當(dāng)A≠0時，Aü的逆存在，則Aü在方程兩邊左乘A，Aü·Aü·A?=Aü·A，然后1·a?=1，即a?=1。

在這里，我們只能證明a?=1的a≠0的情況，而不能證明a=0的情況。因此，為了嚴(yán)格起見，我們一般認(rèn)為0?是沒有意義的。

如果我們不得不認(rèn)為0?=1，它只能是強(qiáng)制的，不能從非零幺正環(huán)的定義中導(dǎo)出。

證明一個至少有兩個元素的且沒有零因子的有限環(huán)，R是一個除環(huán)？

證明：設(shè)v是R中的非零元素集。我們知道v中至少有一個元素。對于任何a，B屬于v。因為R中的乘法形成半群，所以a*B屬于R。因為R是一個沒有零因子的環(huán)，并且a和B不等于0，所以a*B屬于v，也就是說，v接近乘法。顯然，V中的任何一對元素都滿足結(jié)合律，因此V構(gòu)成一個半群。因為R是一個沒有零因子的環(huán)，乘法滿足消去律，所以V中的乘法也滿足消去律。因此，任何滿足消去律的有限半群都構(gòu)成一個群。那么R中的所有非零元素組成一個群，所以R是一個除環(huán)。