階數(shù)為5，6，14，15的循環(huán)群的生成元分別有多少個(gè)？6階單位根群U6，這是一個(gè)循環(huán)群。每個(gè)元素的順序是1（1）、2（a^3）、3（a^2、a^4）和6（a、a^5）。6階的兩個(gè)元素是生成器。設(shè)G是6

階數(shù)為5，6，14，15的循環(huán)群的生成元分別有多少個(gè)？

6階單位根群U6，這是一個(gè)循環(huán)群。每個(gè)元素的順序是1（1）、2（a^3）、3（a^2、a^4）和6（a、a^5）。6階的兩個(gè)元素是生成器。

設(shè)G是6階循環(huán)群，則G的生成元有____________個(gè)？

子組的順序是組順序的因子。有四個(gè)6的因子：1，2，3和6，所以有四個(gè)亞組。生成器不一定是唯一的。這里，a，a^3和a^5都是生成器。

一階群有幾個(gè)生成元？

發(fā)電機(jī)為1、3、5、7、9、11、13、15。所有小于16的數(shù)都是16的互質(zhì)。2階1[0]的子群（[8]={[8][0]}4階（[4]={[4][8][12]}）

循環(huán)群必須是阿貝爾群，所以有限循環(huán)群和無(wú)限循環(huán)群都是阿貝爾群它是G的生成元

設(shè)

]群（G，*）是阿貝爾群。

4。一些重要結(jié)論

]1。循環(huán)群的子群必須是循環(huán)群，

2。如果| g |是素?cái)?shù)，那么群g必須是交換群，

3。如果| g |≤5，則群g必須是交換群，

4。如果G是有限循環(huán)群，| G |=n，]

為什么說(shuō)階不大于5的群必是交換群呢？

證明了如果G是循環(huán)群，則G必須由元素生成，如果取其生成元a，則G=（a）。

H是G的子群（非空，操作閉合，結(jié)合律）。如果h是一個(gè)恒等群，那么h顯然是一個(gè)循環(huán)群。如果h不是單位群，則h必須包含具有最小正冪m>0的元素a^m。

如果M<0，那么a^M的逆元素a^（-M）也在H中，并且-M>0，所以我們總是取M大于0。

那么H中的元素可以表示為a^m的任意冪，即（a^m）^n=a^（m·n），n∈Z。假設(shè)H中存在一個(gè)元素a^（m·n r），0<R<M。如果這個(gè)元素不存在，那么G組是a^m生成的循環(huán)組。現(xiàn)在證明這個(gè)元素不存在。

假設(shè)h組中有a^s∈h和a^s=a^（m·n r），即a^s=（a^m）^n·a^r。如果a^r放在方程的一側(cè)，我們可以得到a^r=a^s·（a^m）^（-n），其中a^s和a^m是h中的元素，a^r也應(yīng)該屬于h。但是0<R

也就是說(shuō)，H中的任何元素a^s是a^m的任意冪，因此H是由a^m生成的循環(huán)群。